好的，遵照您的要求，我将不遗漏地、更详细具体地复述并解释您提供的讲座内容中的每一个例子，并为每个例子提供具体的数值，通过计算过程来展示和说明。

1. 热力学第一定律与状态函数 vs. 路径函数

复述与解释

讲座首先回顾了热力学第一定律，其核心是能量守恒。

• 内能 (Internal Energy, U)：是系统的状态函数。这意味着只要系统的状态（由压力P、体积V、温度T等变量确定，通常确定其中两个即可）是固定的，其内能值就是固定的。内能的变化量 $ΔU$ 只取决于系统的初态和末态，而与如何从初态变到末态的**路径（过程）**无关。其微分形式是全微分，记为 $dU$。
• 热 (Heat, Q) 和功 (Work, W)：是路径函数。它们的值不仅取决于系统的初态和末态，还强烈依赖于变化的具体路径。系统吸收的热量 $Q$ 和外界对系统做的功 $W$ 的代数和等于内能的变化量 $ΔU$。

热力学第一定律的数学表达式为：

$$ΔU = Q + W$$

• 符号约定：
  • $Q > 0$ 表示系统吸收热量。
  • $W > 0$ 表示外界对系统做功（例如压缩气体）。
  • 讲座中提到“W是系统做的功”，并使用公式 $W = -P_{ext} dV$。这是另一种常见的定义，即W代表系统对外做的功。为了与更通用的 $ΔU = Q + W$ 形式保持一致，我们这里定义 W为外界对系统做的功，因此 $W = -\int P_{ext} dV$。当系统膨胀时（$dV > 0$），系统对外做功，即外界对系统做负功（$W < 0$）。
• 可逆过程：是一个无限缓慢的过程，系统在每一步都无限接近平衡态。在这种特殊情况下，系统的内部压力 $P_{int}$ 等于外部压力 $P_{ext}$，我们可以用 $P_{int}$（即系统的压力P）来代替 $P_{ext}$。

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2. 核心例子：P-V 图上的不同路径比较

讲座中用一个非常经典的例子来说明状态函数和路径函数的区别：从状态1可逆地变化到状态2，可以通过不同的路径实现。

设定与数值示例

我们假设系统为 1 摩尔 (mol) 的单原子理想气体。之所以选择单原子理想气体，是因为讲座中提到了其定容摩尔热容 $C_{v,m} = \frac{3}{2}R$。

• 气体常数 $R \approx 8.314 \text{ J/(mol·K)}$。
• $C_{v,m} = \frac{3}{2}R \approx 12.47 \text{ J/(mol·K)}$。
• 对于理想气体，其定压摩尔热容 $C_{p,m} = C_{v,m} + R = \frac{5}{2}R \approx 20.79 \text{ J/(mol·K)}$。
• 对于理想气体，内能仅是温度的函数：$ΔU = nC_{v,m}ΔT$。

设定初态和末态：

• 状态 1：$P_1 = 200 \text{ kPa}$， $V_1 = 10 \text{ L} = 0.01 \text{ m}^3$。
  • 根据理想气体状态方程 $PV=nRT$，可以计算出温度 $T_1 = \frac{P_1V_1}{nR} = \frac{200000 \text{ Pa} \times 0.01 \text{ m}^3}{1 \text{ mol} \times 8.314 \text{ J/(mol·K)}} \approx 240.5 \text{ K}$。
• 状态 2：气体膨胀到 $V_2 = 20 \text{ L} = 0.02 \text{ m}^3$，并且末态温度与初态相同，即 $T_2 = T_1 = 240.5 \text{ K}$ (等温过程)。
  • 根据理想气体状态方程，可以计算出压力 $P_2 = \frac{nRT_2}{V_2} = \frac{1 \times 8.314 \times 240.5}{0.02} \approx 100000 \text{ Pa} = 100 \text{ kPa}$。

总的内能变化： 由于初末态温度相同（$T_1 = T_2$），对于理想气体，内能没有变化。

$$ΔU_{1 \to 2} = nC_{v,m}(T_2 - T_1) = 1 \times 12.47 \times (240.5 - 240.5) = 0 \text{ J}$$

这验证了内能是状态函数，只要初末态确定，其变化量就确定了。现在我们看两条不同路径的 $Q$ 和 $W$。

路径 A：可逆等温膨胀

• 过程描述：气体从状态1 $(P_1, V_1)$ 直接可逆地等温膨胀到状态2 $(P_2, V_2)$。
• 解释：
  • 等温：意味着 $ΔT=0$，因此 $ΔU=0$。
  • 可逆：意味着在膨胀的每一步，$P_{ext} = P_{int} = P_{gas} = \frac{nRT}{V}$。
• 计算：

  • 功 (W)：

    $$W_A = -\int_{V_1}^{V_2} P_{ext} dV = -\int_{V_1}^{V_2} \frac{nRT}{V} dV = -nRT \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)$$

    代入数值：

    $$W_A = -1 \text{ mol} \times 8.314 \frac{\text{J}}{\text{mol·K}} \times 240.5 \text{ K} \times \ln\left(\frac{20}{10}\right) \approx -2000 \text{ J} \times \ln(2) \approx -1386 \text{ J}$$

    负号表示系统对外做功，外界对系统做负功。

  • 热 (Q)： 根据第一定律 $ΔU = Q + W$，因为 $ΔU = 0$，所以 $Q = -W$。

    $$Q_A = -W_A = 1386 \text{ J}$$

    正号表示系统必须从外界吸收热量来维持温度恒定，因为膨胀做功会消耗内能。

路径 B+C：恒压膨胀 + 恒容降温

• 过程描述：气体首先在恒定压力 $P_1$下膨胀到体积 $V_2$（到达中间状态3），然后再在恒定体积 $V_2$下冷却，直到压力降为 $P_2$（到达最终状态2）。

• 中间状态 3：$P_3 = P_1 = 200 \text{ kPa}$，$V_3 = V_2 = 20 \text{ L}$。

  • 其温度 $T_3 = \frac{P_3V_3}{nR} = \frac{200000 \times 0.02}{1 \times 8.314} \approx 481.0 \text{ K}$。

• 过程 B (1 → 3): 恒压膨胀

  • 解释：压力保持在 $P_1 = 200 \text{ kPa}$ 不变，体积从 $V_1$ 增加到 $V_2$。
  • 计算：

    • 功 (W)：

      $$W_B = -P_1(V_2 - V_1) = -200000 \text{ Pa} \times (0.02 \text{ m}^3 - 0.01 \text{ m}^3) = -2000 \text{ J}$$

    • 内能变化 (ΔU)：

      $$ΔU_B = nC_{v,m}(T_3 - T_1) = 1 \times 12.47 \times (481.0 - 240.5) \approx 3000 \text{ J}$$

    • 热 (Q)：

      $$Q_B = ΔU_B - W_B \approx 3000 \text{ J} - (-2000 \text{ J}) = 5000 \text{ J}$$

      （也可以用 $Q_p = nC_{p,m}ΔT = 1 \times 20.79 \times (481.0 - 240.5) \approx 5000 \text{ J}$ 计算，与讲座中的推导一致）

• 过程 C (3 → 2): 恒容降温

  • 解释：体积保持在 $V_2 = 20 \text{ L}$ 不变，温度从 $T_3$ 降低到 $T_2$。
  • 计算：

    • 功 (W)：因为体积不变（$dV=0$），所以系统不做功。

      $$W_C = 0 \text{ J}$$

    • 内能变化 (ΔU)：

      $$ΔU_C = nC_{v,m}(T_2 - T_3) = 1 \times 12.47 \times (240.5 - 481.0) \approx -3000 \text{ J}$$

    • 热 (Q)：

      $$Q_C = ΔU_C - W_C = -3000 \text{ J} - 0 \text{ J} = -3000 \text{ J}$$

      负号表示系统向外界放出热量。

路径 A 与 路径 B+C 的总结比较

物理量	路径 A (可逆等温)	路径 B+C (恒压+恒容)	结论
$ΔU$	$0 \text{ J}$	$ΔU_B + ΔU_C = 3000 + (-3000) = 0 \text{ J}$	相同，验证了内能是状态函数
$W$	$-1386 \text{ J}$	$W_B + W_C = -2000 + 0 = -2000 \text{ J}$	不同，验证了功是路径函数
$Q$	$1386 \text{ J}$	$Q_B + Q_C = 5000 + (-3000) = 2000 \text{ J}$	不同，验证了热是路径函数

这个例子清晰地展示了讲座的核心观点：无论你走哪条路（路径A或B+C），只要起点和终点一样，内能的变化量 $ΔU$ 就完全一样。但是，过程中做的功 $W$ 和吸收的热 $Q$ 却因路径的不同而不同。

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3. 绝热自由膨胀（真空膨胀）

复述与解释

讲座提出了一个特殊情况：一个装有气体的绝热容器，用一个销钉固定活塞。活塞外部是真空（$P_{ext} = 0$）。当销钉被拔掉后，气体自由膨胀。

• 绝热 (Adiabatic)：意味着系统与外界没有热量交换，所以 $Q=0$。
• 向真空膨胀 (Free Expansion)：意味着外部压力 $P_{ext} = 0$。

计算与结论

• 功 (W)：

  $$W = -\int P_{ext} dV$$

  因为 $P_{ext} = 0$，所以无论体积如何变化，$W=0$。

• 热 (Q)：因为过程是绝热的，所以 $Q=0$。

• 内能变化 (ΔU)： 根据第一定律，$ΔU = Q + W = 0 + 0 = 0$。

对于理想气体： 因为理想气体的内能只取决于温度，既然 $ΔU=0$，那么其温度也保持不变，$ΔT=0$。

数值示例

假设 1 摩尔 理想气体，初态温度为 300 K，体积为 10 L。它绝热自由膨胀到 20 L。

• 初态：$T_1 = 300 \text{ K}$, $V_1 = 10 \text{ L}$
• 末态：$V_2 = 20 \text{ L}$
• 计算结果：
  • $Q = 0 \text{ J}$ (绝热)
  • $W = 0 \text{ J}$ (向真空膨胀)
  • $ΔU = 0 \text{ J}$ (由第一定律)
  • $T_2 = T_1 = 300 \text{ K}$ (因为对理想气体 $ΔU=0 \implies ΔT=0$)

这个例子很重要，它展示了一个 $ΔU=0$ 的绝热过程，这与前面的等温过程（$ΔU=0, Q \neq 0, W \neq 0$）形成了鲜明对比。

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4. 内能的微观解释

复述与解释

讲座简要地将宏观热力学与微观统计力学联系起来。系统的宏观内能 $U$ 是其所有可能的微观能量状态 $E_i$ 的统计平均值：

$$U = \sum_i P_i E_i$$

• $E_i$: 系统可能处于的第 $i$ 个微观能级（例如，所有分子的总动能和势能的一种特定组合）。这些能级的大小会受到系统体积 $V$ 的影响（例如，量子力学中的“无限深势阱”模型，能级与阱宽的平方成反比）。
• $P_i$: 系统处于能级 $E_i$ 的概率。这个概率分布主要由温度 $T$ 决定（通过玻尔兹曼因子 $e^{-E_i/k_B T}$）。

当系统内能发生微小变化 $dU$ 时，可以分解为两部分：

$$dU = \sum_i (E_i dP_i + P_i dE_i)$$

• $\sum_i E_i dP_i$：能级 $E_i$ 本身不变，但各能级上的概率 $P_i$ 发生了变化。这通常是由于温度变化引起的能量在不同能级间的重新分配，对应于宏观的热交换 $dQ$。
• $\sum_i P_i dE_i$：各能级的概率 $P_i$ 不变，但是能级 $E_i$ 本身发生了变化。这通常是由于体积变化引起的，对应于宏观的做功 $dW$。例如，压缩气体（$dV<0$）会使能级升高，即使概率分布不变，总能量也会增加，这正是外界做功的效果。

这提供了一个深刻的微观视角来理解为什么热和功是两种不同的能量传递方式。

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5. 焓 (Enthalpy, H)

复述与解释

在化学和许多实际工程问题中，过程通常在恒定压力下（如敞口烧杯中的反应）发生。为了方便处理这种情况，定义了一个新的状态函数——焓 (H)。

$$H = U + PV$$

焓变的微分形式为 $dH = dU + d(PV) = dU + P dV + V dP$。

在恒压可逆过程中：

• $dP = 0$。
• $dU = dQ_p - P dV$（$dQ_p$ 表示恒压下的热量）。 代入 $dH$ 的表达式： $dH = (dQ_p - P dV) + P dV + 0 = dQ_p$ 所以，

$$ΔH = Q_p$$

结论：在恒定压力下的可逆过程中，系统吸收或放出的热量等于其焓变。这使得焓成为一个非常有用的量。

例子：水的汽化

• 过程：1摩尔液态水在标准大气压（$101.325 \text{ kPa}$）和 $100^\circ\text{C}$（$373.15 \text{ K}$）下变为水蒸气。
• 解释：这是一个恒压过程，所以吸收的热量就是汽化焓 $Δ_{vap}H$。
• 数值示例：
  • 水的标准摩尔汽化焓 $Δ_{vap}H = 40.66 \text{ kJ/mol}$。
  • 因此，在这个过程中 $Q_p = 40.66 \text{ kJ}$。
  • 我们可以进一步计算内能变化 $ΔU$： $ΔH = ΔU + Δ(PV) = ΔU + PΔV$ (因为P恒定) $ΔU = ΔH - PΔV = ΔH - P(V_{gas} - V_{liquid})$
  • 计算体积变化 $ΔV$：
    • $V_{liquid}$：1摩尔水的体积约为 $18 \text{ mL} = 1.8 \times 10^{-5} \text{ m}^3$。
    • $V_{gas}$：假设水蒸气为理想气体，$V_{gas} = \frac{nRT}{P} = \frac{1 \times 8.314 \times 373.15}{101325} \approx 0.0306 \text{ m}^3$。
    • $ΔV \approx V_{gas} - V_{liquid} \approx 0.0306 \text{ m}^3$。
  • 计算 $PΔV$ (膨胀功)： $PΔV = 101325 \text{ Pa} \times 0.0306 \text{ m}^3 \approx 3100 \text{ J} = 3.1 \text{ kJ}$。
  • 计算 $ΔU$： $ΔU = 40.66 \text{ kJ} - 3.1 \text{ kJ} = 37.56 \text{ kJ}$。
  • 结论：在汽化过程中，系统吸收的 $40.66 \text{ kJ}$ 热量中，有 $37.56 \text{ kJ}$ 用于增加水分子的内能（克服分子间作用力），另外 $3.1 \text{ kJ}$ 用于对外做功（推开大气）。

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6. 热容 (Heat Capacity, C)

复述与解释

• 定容热容 ($C_v$)：恒定体积下，系统温度升高1K所需吸收的热量。 $C_v = \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V$。
• 定压热容 ($C_p$)：恒定压力下，系统温度升高1K所需吸收的热量。 $C_p = \left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_P$。

对于1摩尔单原子理想气体：

• $U = \frac{3}{2}RT \implies C_{v,m} = \frac{d}{dT}(\frac{3}{2}RT) = \frac{3}{2}R \approx 12.47 \text{ J/(mol·K)}$。
• $H = U + PV = \frac{3}{2}RT + RT = \frac{5}{2}RT \implies C_{p,m} = \frac{d}{dT}(\frac{5}{2}RT) = \frac{5}{2}R \approx 20.79 \text{ J/(mol·K)}$。
• $C_p > C_v$ 的原因是，在恒压加热时，系统吸收的热量一部分用于增加内能（升温），另一部分用于对外膨胀做功；而在恒容加热时，所有热量都用于增加内能。

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7. 计算焓变：跨越相变的过程

复述与解释

讲座描述了如何计算将0K的冰加热到某个最终温度下的水蒸气所需的总焓变。这是一个分步求和的过程，因为在相变点（熔点、沸点）和不同相态下，物质的比热容是不同的。

总焓变 $ΔH_{total}$ 是每一步焓变的总和：

1. 加热冰：$\int_{T_{start}}^{T_{melt}} C_{p,ice}(T) dT$
2. 熔化成水：$Δ_{fus}H$ (熔化焓)
3. 加热水：$\int_{T_{melt}}^{T_{boil}} C_{p,water}(T) dT$
4. 汽化成蒸汽：$Δ_{vap}H$ (汽化焓)
5. 加热蒸汽：$\int_{T_{boil}}^{T_{final}} C_{p,steam}(T) dT$

数值示例

计算在1个标准大气压下，将 1 摩尔 (18克) 的冰从 -10°C (263.15 K) 加热到 110°C (383.15 K) 的水蒸气所需的总焓变。

• 已知数据（近似值）：

  • $C_{p,ice} \approx 37.7 \text{ J/(mol·K)}$
  • $T_{melt} = 0^\circ\text{C} = 273.15 \text{ K}$
  • $Δ_{fus}H = 6.01 \text{ kJ/mol}$
  • $C_{p,water} \approx 75.3 \text{ J/(mol·K)}$
  • $T_{boil} = 100^\circ\text{C} = 373.15 \text{ K}$
  • $Δ_{vap}H = 40.66 \text{ kJ/mol}$
  • $C_{p,steam} \approx 36.5 \text{ J/(mol·K)}$

• 分步计算：

  1. 加热冰 (-10°C → 0°C): $ΔH_1 = nC_{p,ice}ΔT = 1 \times 37.7 \times (273.15 - 263.15) = 377 \text{ J} = 0.377 \text{ kJ}$
  2. 熔化冰 (0°C): $ΔH_2 = nΔ_{fus}H = 1 \times 6.01 = 6.01 \text{ kJ}$
  3. 加热水 (0°C → 100°C): $ΔH_3 = nC_{p,water}ΔT = 1 \times 75.3 \times (373.15 - 273.15) = 7530 \text{ J} = 7.53 \text{ kJ}$
  4. 汽化水 (100°C): $ΔH_4 = nΔ_{vap}H = 1 \times 40.66 = 40.66 \text{ kJ}$
  5. 加热蒸汽 (100°C → 110°C): $ΔH_5 = nC_{p,steam}ΔT = 1 \times 36.5 \times (383.15 - 373.15) = 365 \text{ J} = 0.365 \text{ kJ}$

• 总焓变：

  $$ΔH_{total} = ΔH_1 + ΔH_2 + ΔH_3 + ΔH_4 + ΔH_5 = 0.377 + 6.01 + 7.53 + 40.66 + 0.365 \approx 54.94 \text{ kJ}$$

  所以，总共需要约 $54.94 \text{ kJ}$ 的热量。

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8. 赫斯定律 (Hess's Law)

复述与解释

由于焓是状态函数，一个化学反应的焓变只与反应物和生成物的状态有关，与反应途径无关。这使得我们可以通过已知的、易于测量的反应焓变，来计算一个难以直接测量的反应的焓变。

例子：金刚石转变为石墨

• 目标反应：$C(diamond) \rightarrow C(graphite)$, $ΔH_{reaction} = ?$

• 这个反应速率极慢，无法直接在量热计中测量其热效应。

• 设计路径：我们可以分别测量金刚石和石墨的燃烧焓，因为燃烧反应很容易进行。

  1. $C(diamond) + O_2(g) \rightarrow CO_2(g)$, $ΔH_1 = -395.4 \text{ kJ/mol}$
  2. $C(graphite) + O_2(g) \rightarrow CO_2(g)$, $ΔH_2 = -393.5 \text{ kJ/mol}$

• 计算： 我们将反应1看作是“金刚石→二氧化碳”，将反应2的逆反应看作是“二氧化碳→石墨”。将这两个“步骤”相加：

  • (反应1) - (反应2) 即可得到目标反应：

  $$(C(diamond) + O_2(g)) - (C(graphite) + O_2(g)) \rightarrow (CO_2(g)) - (CO_2(g))$$

  $$C(diamond) \rightarrow C(graphite)$$

  • 因此，焓变也相应地相减：

  $$ΔH_{reaction} = ΔH_1 - ΔH_2 = (-395.4 \text{ kJ/mol}) - (-393.5 \text{ kJ/mol}) = -1.9 \text{ kJ/mol}$$

• 结论：金刚石转变为石墨是一个放热反应，虽然放热量很小。这表明在标准状态下，石墨比金刚石更稳定。

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9. 反应焓变与温度的关系（基尔霍夫定律）

复述与解释

一个化学反应的焓变 $Δ_r H$ 会随温度变化。我们可以通过设计一个等效的热力学循环来计算不同温度下的反应焓。 要计算反应在温度 $T_2$ 时的焓变 $ΔH(T_2)$，而已知其在 $T_1$ 时的焓变 $ΔH(T_1)$：

1. 将反应物从 $T_2$ 冷却到 $T_1$。
2. 在 $T_1$ 下进行反应。
3. 将生成物从 $T_1$ 加热到 $T_2$。

这三个步骤的总焓变就等于直接在 $T_2$ 进行反应的焓变。其数学形式（基尔霍夫定律）为：

$$ΔH(T_2) = ΔH(T_1) + \int_{T_1}^{T_2} ΔC_p dT$$

其中 $ΔC_p = \sum C_{p,products} - \sum C_{p,reactants}$。

数值示例

以哈伯-博施法合成氨反应为例：$N_2(g) + 3H_2(g) \rightarrow 2NH_3(g)$

• 已知数据：
  • 在 $T_1 = 298 \text{ K}$ 时，标准反应焓 $Δ_r H^\circ(298\text{K}) = -92.2 \text{ kJ/mol}$。
  • 摩尔定压热容（近似为常数）： $C_{p,m}(N_2) = 29.1 \text{ J/(mol·K)}$ $C_{p,m}(H_2) = 28.8 \text{ J/(mol·K)}$ $C_{p,m}(NH_3) = 35.1 \text{ J/(mol·K)}$
• 计算 $ΔC_p$： $ΔC_p = [2 \times C_{p,m}(NH_3)] - [1 \times C_{p,m}(N_2) + 3 \times C_{p,m}(H_2)]$ $ΔC_p = [2 \times 35.1] - [1 \times 29.1 + 3 \times 28.8] = 70.2 - (29.1 + 86.4) = -45.3 \text{ J/(mol·K)}$
• 计算在 $T_2 = 500 \text{ K}$ 时的反应焓： $ΔH(500\text{K}) = ΔH(298\text{K}) + ΔC_p (T_2 - T_1)$ (假设$ΔC_p$为常数) $ΔH(500\text{K}) = -92200 \text{ J/mol} + (-45.3 \text{ J/(mol·K)}) \times (500 \text{ K} - 298 \text{ K})$ $ΔH(500\text{K}) = -92200 - 45.3 \times 202 = -92200 - 9150.6 = -101350.6 \text{ J/mol} \approx -101.4 \text{ kJ/mol}$
• 结论：在500K时，该反应的放热量比298K时更多。

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10. 思考题：估算地球上的化石燃料总量

复述与解释

这是一个极具启发性的估算问题，其逻辑链如下：

1. 前提：地球大气中几乎所有的游离氧气 ($O_2$) 都来源于远古时期植物和蓝藻细菌的光合作用。
2. 化学计量：光合作用的简化反应式为 $CO_2 + H_2O \rightarrow CH_2O(生物质) + O_2$。从化学计量关系看，每产生1摩尔的 $O_2$，就有1摩尔的碳(C)被从 $CO_2$ 中固定下来，形成了生物质。
3. 假设：地球上现存的化石燃料（煤、石油、天然气，主要成分是还原态的碳）就是这些远古生物质经过地质作用形成的。虽然有部分生物质分解了，但作为一个数量级的估算，我们可以假设大气中现有的氧气总量，在摩尔数上约等于地球上以化石燃料形式存在的碳的总量。
4. 计算步骤：因此，问题转化为计算地球大气中氧气的总摩尔数。

数值估算示例

1. 计算大气总质量：

   • 标准大气压 $P \approx 1.013 \times 10^5 \text{ Pa}$。
   • 地球表面积 $A = 4\pi R^2 \approx 4\pi(6.37 \times 10^6 \text{ m})^2 \approx 5.1 \times 10^{14} \text{ m}^2$。
   • 大气层对地表的总压力（力） $F = P \times A$。
   • 大气总质量 $M_{atm} = F/g = (P \times A) / g \approx (1.013 \times 10^5 \times 5.1 \times 10^{14}) / 9.8 \approx 5.27 \times 10^{18} \text{ kg}$。

2. 计算氧气质量和摩尔数：

   • 氧气约占大气质量的 23.2%。
   • 氧气总质量 $M_{O_2} = M_{atm} \times 23.2\% \approx 5.27 \times 10^{18} \text{ kg} \times 0.232 \approx 1.22 \times 10^{18} \text{ kg}$。
   • $O_2$ 的摩尔质量为 $32 \text{ g/mol} = 0.032 \text{ kg/mol}$。
   • 氧气总摩尔数 $n_{O_2} = M_{O_2} / M_{molar,O_2} \approx (1.22 \times 10^{18} \text{ kg}) / (0.032 \text{ kg/mol}) \approx 3.8 \times 10^{19} \text{ mol}$。

3. 估算化石碳总量：

   • 根据假设，$n_{Carbon} \approx n_{O_2} \approx 3.8 \times 10^{19} \text{ mol}$。
   • 碳的摩尔质量为 $12 \text{ g/mol} = 0.012 \text{ kg/mol}$。
   • 化石碳总质量 $M_{Carbon} = n_{Carbon} \times M_{molar,C} \approx 3.8 \times 10^{19} \text{ mol} \times 0.012 \text{ kg/mol} \approx 4.6 \times 10^{17} \text{ kg}$。

结论：通过这个基于热力学和化学计量学的巧妙推理，可以估算出地球上化石燃料形式的碳储量大约在 $10^{17}$ 千克这个数量级。这是一个非常宏大且有趣的例子，展示了基本科学原理的强大威力。